ОБ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСОКОГО ЧЕТНОГО ПОРЯДКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Annotations
-
Ўзбек
Ushbu maqolada to‘g‘ri to‘rtburchakda Bessel operatori qatnashgan yuqori juft tartibli xususiy hosilali differensial tenglama uchun boshlang‘ich-chegaraviy masala o‘rganilgan. Qo‘yilgan masalaga o‘zgaruvchilarni ajratish usulini qo‘llab, yuqori juft tartibli oddiy differensial tenglama uchun spektral masala olingan. Oxirgi masala o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligi isbotlanib, uning xos funksiyalari sistemasi mavjudligi, shuningdek, ushbu sistema ortonormalligi va to‘laligini ko’rsatilgan.
O‘rganilayotgan masalaning yechimi spektral masalaning xos funksiyalari sistemasi bo‘yicha Fury’e qatori ko‘rinishida qidirilgan. Bu qatorning va undan hadlab differensiallash yo‘li bilan olingan qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligini ta’minlovchi shartlar topilgan. Masalani yechishning yagonaligi energiya integrali usuli bilan isbotlangan. Masala yechimi uchun uning berilgan funksiyalarga uzluksiz bog‘liq ekanligi kelib chiqaruvchi bahosi olingan.Tags: #boshlang’ich-chegaraviy masala #spektral masala #masala yechimining mavjudligi #yagonaligi va turg’unligi
-
Русский
В данной статье, для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике, сформулирована начально-граничная задача. Применяя метод разделения переменных к поставленной задаче, получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы её собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Решение изучаемой задачи найдено в виде суммы ряда Фурье, по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом энергии интегралов доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.
Tags: #boshlang’ich-chegaraviy masala #spektral masala #masala yechimining mavjudligi #yagonaligi va turg’unligi
-
English
In this article, for a partial differential equation of high even order with a Bessel operator in a rectangle, an initial boundary value problem has been formulated. Applying the method of separation of variables to the considered problem, a spectral problem was obtained for an ordinary differential equation of high even order. A self-adjointness of the last problem was proved, which implies the existence of the system of its eigen-functions, as well as the orthonormality and completeness of this system. The solution of the considered problem study was found as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigen-functions of the spectral problem. The uniform convergence of this series, as well as the series obtained from it by term-by-term differentiation, have been proved. The uniqueness of the solution of the problem has been proved by the method of energy of integrals. An estimate for solution of the problem was obtained, from which follows its continuous dependence on the given functions.
Tags: #boshlang’ich-chegaraviy masala #spektral masala #masala yechimining mavjudligi #yagonaligi va turg’unligi
View document online
References
| № | Name of reference |
|---|---|
|
1 |
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1972. |
|
2 |
2. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. Москва: Стройиздат, 1954. |
|
3 |
3. Amanov D. and Yuldasheva A.V. Solvability and Spectral Properties of Boundary Value Problems for Equations of Even Order // Malaysian Journal of Matematical Sciences. 2009. Vol. 3, No. 2. P. 227–248. |
|
4 |
4. Amanov D. About correctness of boundary value problems for an equation of even order // Uzbek Mathematical Journal. 2011. No. 4, P. 20–35. |
|
5 |
5. Amanov D. and Ashuraliyev A. Well - Posedness of Boundary Value Problems for Partial Differential Equations of Even Order // First International Conference on Analysis and Applied Mathematics. 2012. P. 3–7. |
|
6 |
6. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений с частными производными высоких порядков // Математические заметки. 2015. Т. 97, вып. 2, С. 262–276. |
|
7 |
7. Иргашев Б.Ю. О спектральной задаче для одного уравнения высокого четного порядка // Известия вузов. Математика. 2016. № 7, С. 44–54. |
|
8 |
8. Апаков Ю.П., Иргашев Б.Ю. Краевая задача для вырождающегося уравнения высокого нечетного порядка // Украинский математической журнал. 2014. Т. 66, № 10, С. 1348–1331. |
|
9 |
9. Аманов Д. Краевая задача для вырождающегося параболического уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Известия вузов. Математика. 2014. № 12, С. 3–8. |
|
10 |
10. Onur A. I., Kosimov Sh.G., Madraximov U.S. and Baskonus H.M. Solvability of the mixed problem of a high- order pde with fractional time derivatives, Sturm-Liouville operators on spatial variables and non-local boundary conditions // Rocky Mountain journal of mathematics 2019, Vol. 49, No. 4, pp. 1191-1206. |
|
11 |
11. Касимов Ш.Г., Атаев Ш.К. Об однозначной разрешимости нелокальной смешанной задачи в классах Соболева для уравнения с частными производными дробного порядка и оператором Лапласа // Материалы V Международной научной конфренции. Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. К 80-летию Адама Маремовича Нахушева. Нальчик. 4-7 декабря 2018 г. |
|
12 |
12. Касимов Ш.Г. Бабаев М.М. О разрешимости смешанной задачи для уравнения с частными производными дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени и операторами Лапласа с нелокальными краевыми условиями в классах Соболева // Неклассические уравнения математической физики и их приложения Узбекско–Российская научная конференция Ташкент, 24–26 октября, 2019 г. |
|
13 |
13. Ашуров Р.Р., Мухиддинова А.Т. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений с эллиптическим оператором произвольного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ. мат. науки. 2020. Т. 30, № 1, С. 8–19. |
|
14 |
14. Ashurov R.R., Muhiddinova A.T. Initial-boundary value problem for a time-fractional subdiffusion equation with an arbitrary elliptic differential operator // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. V. 42, No. 3, P. 517–525. |
|
15 |
15. Каримов Ш.Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Известия вузов. Математика. 2017. № 8, C. 27–41. |
|
16 |
16. Karimov Sh.T. On some generalizations of properties of the Lowndes operator and their applications to partial differential equations of high order // Filomat. 2018. Vol. 32, No. 3, P. 873–883. |
|
17 |
17. Karimov Sh.T. The Cauchy problem for the degenerated partial differential equation of the high even order // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2018. No. 15, P. 853–862. |
|
18 |
18. Уринов А.К., Каримов Ш.Т. Решение задачи Коши для четырехмерного гиперболического уравнения с оператором Бесселя // Владикавказский математический журнал. 2018. T. 20, № 3, С. 57–68. |
|
19 |
19. Urinov A.K. and Karimov Sh.T. On the Cauchy problem for the interated generalized two-axially symmetric equation of hyperbolic type // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, No. 1, P. 102–110. |
|
20 |
20. Азизов М.С. Об одной начально-граничной задаче для уравнения в частных производных высшего четного порядка с оператором Бесселя // Бюллетень Института математики 2022, Vol. 5, №1, стp. 14-24. |
|
21 |
21. Азизов М.С. О разрешимости нелокальной начально-граничной задачи для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя // Scientific bulletin Physical and Mathematical Research, 2022, №1. |
|
22 |
22. Уринов А.К., Азизов М.С. Начально-граничная задача для уравнения в частных производных высшего четного порядка с оператором Бесселя // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, № 2. |
|
23 |
23. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва: Наука, 1969. 528 с. |
|
24 |
24. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Москва: Физматлит, 1959. 232 с. |
