КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

Soha chegarasida buziladigan parabolik tenglama uchun chegaraviy masalalar bayon qilingan va o‘rganilgan. Masala yechimining  mavjudligi, yagonaligi va turg‘unligi isbotlangan.Masala yechimining yagonali energiya integrallar usuli bilan isbotlangan. O‘zgaruvchilarni ajratish usuli orqali, oddiy differensial tenglama uchun spektral masala hosil qilingan. Bu spektral masala Grin funksiyasi yordamida simmetrik yadroli ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasiga ekvivalent keltirilgan. O‘rganilayotgan masalaning yechimi spektral masalaning xos funksiyalar sistemasiga nisbatan Furye qatorining yig‘indisi sifatida topilgan. Masala yechimining bahosi olingan, undan uning berilgan funksiyalarga doimiy bog‘liqligi isbotlangan.

В статье поставлены ​​и исследованы  краевые задачи для параболического уравнения, вырождающегося на границе области.Доказаны существование, единственность и устойчивость решения задач.Методом интегралов энергии доказана единственность решения задачи. При этом, применением метода разделения переменных к изучаемой задаче, получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Далее, построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

In the work  boundary value problems have been formulated  and investigated for a parabolic equation degenerating at the bound of the domain. The existence, uniqueness and stability  of the solution of the problem have been  proved. The uniqueness of the solution of the problem was proved by the method of energy integrals. At the same time, by applying the method of separation of variables to the considered problem, a spectral problem for an ordinary differential equation has been obtained. Next, the Green's function of the spectral problem was constructed, with the help of which it is equivalently reduced to an the second kind Fredholm integral equation  with a symmetric kernel. The solution of the considered problem has been written as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. An estimate for solution the problem was obtained, from which follows its continuous dependence on the given functions.